Question

1.Решить дифференциальное уравнение: y^2dx=(xy-x^2)dy
2.решить двойной интеграл:
Двойной интеграл e^xdxdy, D: y=lnx, y=0, x=2
Помогите пожалуйста T_T

Answer 1

$y^2dx=(xy-x^2)dy|*\frac{1}{dx}\\y^2=(xy-x^2)y'\\dx=o;x=C\\0=(Cy-C^2)dy\\C=0;x=0\\y=tx;y'=t'x+t\\t^2x^2=(tx^2-x^2)(t'x+t)|:x^2\\t^2=(t-1)(t'x+t)\\t^2=t^2-t+t'x(t-1)\\t=\frac{xdt}{dx}(t-1)|*\frac{dx}{tx}\\\frac{dx}{x}=(1-\frac{1}{t})dt\\\\t=\frac{y}{x}=0;y=0\\0=(0-x^2)*0\\0=0\\\int\frac{dx}{x}=\int(1-\frac{1}{t})dt\\ln|x|=t-ln|t|+C\\ln|x|+ln|\frac{y}{x}|-\frac{y}{x}=C\\ln|y|-\frac{y}{x}=C;y=0;x=0$

$\displaystyle\iint\limits_D e^y dxdy=\int\limits_1^2dx\int\limits_0^{\ln x}e^ydy=\int\limits_1^2dx*e^y|^{lnx}_0=\int\limits_1^2(x-1)dx=\\=(\frac{x^2}{2}-x)|^2_1=2-2-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\\\\\\\displaystyle\iint\limits_D e^ydxdy=\int\limits_0^{\ln 2}dy\int\limits_{e^y}^2e^ydx=\int\limits_0^{\ln 2}e^ydy*x|^2_{e^y}=\int\limits_0^{\ln 2}e^y(2-e^{y})dy=\\=-\int\limits_0^{\ln 2}(2-e^y)d(2-e^y)=-\frac{(2-e^y)^2}{2}|_0^{\ln 2}=-\frac{(2-2)^2}{2}+\frac{(2-1)^2}{2}=\frac{1}{2}$

Answer 2

1) y^2 dx = (xy - x^2) dy
y^2 dx = xy dy - x^2 dy – раскрыли скобки
y (y dx - x dy) = -x^2 dy – перенесли слагаемое в другую часть, вынесли y за скобку
-y d(y/x) = -dy – разделим на x^2, получим полный дифференциал y/x. !!! Могло потеряться решение x = 0.
-d(y/x) = -dy/y – делим на y. !!! Могло потеряться решение y = 0.
d(y/x) - d(ln Cy) = 0 – заменяем dy/y на дифференциал логарифма
d(y/x - ln Cy) = 0 – сумма дифференциалов = дифференциалу суммы
y/x - ln Cy = 0 – решение №1.

Проверкой убеждаемся, что x = 0 и y = 0 – также решения.
(0, 0) – особая точка уравнения, в ней решение не единственно.

2) Область интегрирования изображена на рисунке. Двойной интеграл можно свести к повторным, для обоих порядков интегрирования получается не берущийся в элементарных функциях интеграл от exp(x)/x. Одна из его первообразных – интегральная экспонента Ei(x).

$\displaystyle\iint e^x\,dx\,dy=\int_1^2e^x dx\int_0^{\ln x}dy=\int_1^2e^x\ln x\,dx=\\=e^2\ln2-\int_1^2\frac{e^x}x\,dx=e^2\ln2-Ei(2)+Ei(1)$
$\displaystyle\iint e^x\,dx\,dy=\int_0^{\ln 2}dy\int_{e^y}^2e^x\,dx=\int_0^{\ln2}(e^2-e^{e^y})\,dy=\\=e^2\ln2-\int_0^{\ln2}e^{e^y}\,dy=\left[\begin{array}{c}x=e^y\\y=\ln x\\dy=\frac{dx}{x}\end{array}\right]=\\=e^2\ln2-\int_1^2\frac{e^x}{x}\,dx=e^2\ln2-Ei(2)+Ei(1)$