Question

Помогите пожалуйста
Нужно найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Answer 1

уравнение вида:
$y'+P(x)y=Q(x)$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка (или частным случаем уравнения Бернулли)
Такие уравнения решаются либо методом вариации постоянной, либо методом Бернулли. Я покажу второй метод

Решение:
$y'+ \frac{2x}{1+x^2} y= \frac{2x^2}{1+x^2}$

Замена: y=uv;  y'=u'v+v'u, тогда

$u'v+v'u+ \frac{2x}{1+x^2} uv= \frac{2x^2}{1+x^2} \\ \\ u'v+u(v'+ \frac{2x}{1+x^2}v)=\frac{2x^2}{1+x^2} \\ \\ v'+ \frac{2x}{1+x^2}v=0 \\ \\ \frac{dv}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}v=0 \\ \\ \frac{dv}{dx} =- \frac{2x}{1+x^2}v \\ \\ \frac{dv}{v} =- \frac{2x}{1+x^2}dx$

$\int\limits {\frac{dv}{v}}=- \int\limits {\frac{2x}{1+x^2} } \, dx \\ \\ ln|v|=- \int\limits {\frac{1}{1+x^2} } \, d(1+x^2) \\ \\ ln|v|=-ln|1+x^2| \\ \\ ln|v|=ln | \frac{1}{1+x^2} | \\ \\ v= \frac{1}{1+x^2}$

$u'v+u(v'+ \frac{2x}{1+x^2}v)=\frac{2x^2}{1+x^2}$
Так как выражения в скобках приравнивалось к нулю, то остается:

$u'v=\frac{2x^2}{1+x^2}$

подставляем значение v:

$u'\frac{1}{1+x^2}=\frac{2x^2}{1+x^2} \ \ |*(1+x^2) \\ \\ u'=2x^2 \\ \\ u= \int\limits {2x^2} \, dx = \frac{2x^3}{3} +C$

И наконец, обратная замена:

$y=uv=(\frac{2x^3}{3} +C)* \frac{1}{1+x^2} \\ \\ OTBET: \ y=(\frac{2x^3}{3} +C) \frac{1}{1+x^2}$