Question

Помогите пожалуйста
Нужно найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0
3yy'=x^2, y(-3)=-2

Answer 1

$3yy'=x^2$ . Данное уравнение относится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$3ydy=x^2dx$                    $(\star)$ 
Уравнение $(\star)$ называют дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. После этого можно проинтегрировать левую и правую части равенства $(\star)$

$\displaystyle \int 3ydy=\int x^2dx~~~\Rightarrow~~~ \frac{3y^2}{2} = \frac{x^3}{3} +C$  - общий интеграл.

Осталось определить частный интеграл, подставляя начальные условия:
$\dfrac{3\cdot(-2)^2}{2}= \dfrac{(-3)^3}{3}+C~~~\Rightarrow~~ 6=-9+C~~~\Rightarrow~~~ C=15$

$\boxed{\dfrac{3y^2}{2} = \dfrac{x^3}{3} +15}$    -ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.