Question

Разложить функцию по признаку Маклорена и найти интервал сходимости ряда.

Answer 1

Ряд Маклорена для y=cost:

$cost=1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+...+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\cdot t^{2n}+...=\sum\limits _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\cdot t^{2n}\; ,\\oblast\; sxodimosti\; \; -\infty \ \textless \ t\ \textless \ +\infty \\\\\\cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot cos2x\\\\t=2x\; ,\; cos2x=1-\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}-\frac{(2x)^6}{6!}+...+(-1)^{n}\cdot \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}+...=\\\\= 1-\frac{2^2x^2}{2!}+\frac{2^4x^4}{4!}-\frac{2^6x^6}{6!}+...+(-1)^{n}\cdot \frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}+...$

$cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{2^2x^2}{2!}+\frac{2^4x^4}{4!}-\frac{2^6x^6}{6!}+,,,+(-1)^{n}\cdot \frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}+...)=\\\\=1-\frac{2x^2}{2!}+\frac{2^3x^4}{4!}-\frac{2^5x^6}{6!}+...+(-1)^{n}\cdot \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}+...\\\\cos^2x=\sum\limits _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot 2^{2n-1}\cdot x^{2n}}{(2n)!}\; ,\; \; -\infty \ \textless \ x\ \textless \ +\infty$