Question

братья математики, выручайте
С4, Задание 16, профильная математика
медианы АА1, ВВ1, СС1 в треугольнике пересекаются в точке М. известно, что АС=3МВ
а) докажите, что треугольник АВС прямоугольный
б)найдите сумму квадратов катетов АА1 и СС1, есди известно, что АС=12

Answer 1

а) Если известно, что АС=12, то МВ = АС/3 = 12/3 = 4.
Медиана ВВ1 равна (3/2) длины отрезка ВМ.
ВВ1 = (3/2)*4 = 6.
Как видим, медиана равна половине стороны АС. Поэтому треугольник АВС - прямоугольный, а АС - гипотенуза.

б) Сумма квадратов катетов АВ и ВС равна квадрату АС, то есть 12² = 144.

Если нужна сумма квадратов медиан, проведенных к катетам, то решение такое:
Пусть АВС - исходный треугольник, С - вершина прямого угла, а АЕ и ВD - медианы.
Пусть  ВС = а, АС = b.  Тогда по теореме Пифагора
ВD² = BC² + CD² = a² + (b/2)² = a² + b²/4
AE² = AC² + CE² = b² + (a/2)² = b² + a²/4
Следовательно 
BD² + CE² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * AB².

Это копия с задания 359967.