Question

$2(x^{2} + \frac{1}{x^{2} } )-11(x- \frac{1}{x})+8=0$

Answer 1

$2(x^2+ \frac{1}{x^2})-11(x- \frac{1}{x})+8=0$

если возвести в квадрат (x-1/x) то получаем:
$(x^2-2+ \frac{1}{x} )$
чтобы выражение не изменялось мы прибавим 4

и так делаем замену:
$x- \frac{1}{x}=a$

$2(x- \frac{1}{x})^2-11(x- \frac{1}{x} )+4+8=0 \\ \\ 2a^2-11a+12=0 \\ D=121-96=5^2 \\ a_1= \frac{11-5}{4}= \frac{3}{2} \\ \\ a_2= \frac{11+5}{4}=4$
обратная замена:

$x- \frac{1}{x}= \frac{3}{2} \ (*2x \neq 0) \\ \\ 2x^2-2=3x \\ 2x^2-3x-2=0 \\ D=9+16=5^2 \\ x_1= \frac{3-5}{4}= -\frac{1}{2} \\ \\ x_2= \frac{3+5}{4}=2 \\ \\ \\ x- \frac{1}{x}=4 \ (*x \neq 0) \\ \\ x^2-1=4x \\ x^2-4x-1=0 \\ D=16+4=(2 \sqrt{5})^2 \\ x_1= \frac{4-2 \sqrt{5} }{2} =2- \sqrt{5} \\ x_2=2+ \sqrt{5}$

ОТВЕТ:
$x_1=-0.5 \\ x_2=2 \\ x_3=2- \sqrt{5} \\ x_4=2+ \sqrt{5}$