Question

помогите пожалуйста

В правильном тетраэдре АBCD точки К и L - середины рёбер АD и BC соответственно. Найдите угол между прямой KL и высотой CC1 треугольника ABC.

1) arccos √3/6
2) arcsin √6/6
3) arccos √6/6
4) arcsin √3/6

Answer 1

В правильном тетраэдре все рёбра равны, а грани - правильные треугольники.
Примем длины рёбер равными 1.
Высота Н правильного тетраэдра равна √(2/3).
Высота точки К от плоскости АВС равна половине Н, то есть √2/(2√3).

Перенесём прямую KL точкой L  в точку С и соединим отрезком точку К с  точкой С1.
Получим треугольник СК1С1.
Проекция на плоскость АВС отрезка К1С равна проекции KL.
Проекция точки К на АВС (пусть это точка К2) делит медиану (она же и высота) AL от точки А в отношении 1:2. AL = √3/2.
 K2L = (2/3)*(√3/2) = √3/3.
Проекция К2L на СС1, как катет против угла в 30 градусов, равна (1/2)*√3/3 = √3/6.
Находим длину KL.
KL = √((K2L)² + (K2K)²) = √((√3/3)² + (√2/(2√3))²) = √((3/9) + (2/12)) = 1/√2.
Теперь можно определить косинус угла α = К1СС1 (он же угол между KL и CC1):  cos α = (√3/6)/(1/√2) = √6/6.

Ответ:  угол между прямой KL и высотой CC1 треугольника ABC равен 3) arccos √6/6.