Question

$x^3+3x^2-4+(a^2+4a)tgx=a$ найти все значения а, при каждом из которых уравнение имеет два корня.

Answer 1

$x^3+3x^2-4-a=(-a^2-4a)tg\, x$

Функция, стоящая в левой части уравнения - это непрерывная функция, определенная на всей прямой (график - кубическая парабола, но это непринципиально). В правой части (если скобка не равна нулю) - тангенсоида. На каждом промежутке вида $\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n\right)$ правая функция непрерывна, причем принимает все значения из $(-\infty;+\infty).$. Поэтому на каждом таком промежутке левая  и правая часть совпадают хотя бы в одной точке. Поэтому решений будет бесконечно много. Остается разобраться со случаем, когда скобка равна нулю.

$a^2+4a=0\Leftrifgtarrow \left [ {{a=0} \atop {a=-4}} \right.$

1-й случай. a=0; получаем уравнение $x^3+3x^2-4=0;$ угадываем корень x=1, после чего, например с помощью делением столбиком получаем разложение 

$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2.$

Корни x=1 и x= - 2. Оба входят в ОДЗ. Поэтому a=0 удовлетворяет условию.

2-й случай. a= - 4; $x^3+3x^2=0;\ x^2(x+3)=0;\ \left [ {{x=0} \atop {x=-3}} \right.$

Снова уравнение имеет два решения, поэтому a= - 4  тоже нас устраивает.   

Ответ: 0; - 4