Question

Помогите, пожалуйста, решить. Векторы

Answer 1

Дано:
$\vec{c}=\vec{m}+2\vec{n};\;\vec{d}=\vec{m}+3\vec{n};\;\vec{|m|}=2;\;\vec{|n|}=2;\;\ \textless \ (\vec{m},\vec{n})= \frac{\pi}{6}$


Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение [cxd] через векторное произведение [mxn] , по сути, выразим вектор через вектор.
Используем формулу векторного произведения векторов
                                       (mxn) = |m|*|n| sin(m^n)
                                       (mxm) = |m|*|m| sin(m^m)= |m|*|m| sin(0) = 0
                                       (nxn) = |n|*|n| sin(n^n)= |n|*|n| sin(0) = 0

 [cxd] =[(m+2n)x(m+3n)]=[mxm]+[2nxm]+[mx3n]+[2nx3n] = [mxm]+2[nxm]+3[mxn]+6[nxn]=0 +5[nxm]+6*0= 5[nxm]

$[\vec{c}\times\vec{d}] =[(\vec{m}+2\vec{n})\times(\vec{m}+3\vec{n})]=$$=[\vec{m}\times\vec{m}]+[2\vec{n}\times\vec{m}]+[\vec{m}\times3\vec{n}]+[2\vec{n}\times3\vec{n}] =$$0+2[\vec{n}\times\vec{m}]+3[\vec{m}\times\vec{n}]+0=5[\vec{n}\times\vec{m}]$
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

                                    [cxd] = 5[nxm]
                                    $[\vec{c}\times\vec{d}] = 5[\vec{n}\times\vec{m}]$

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения.

|[cxd]| = 5|[nxm]| = 5|m|*|n| sin(m^n) = 5*2*2*sin(π/6)=20*(1/2)=10

$|[\vec{c}\times\vec{d}]| = 5|[\vec{n}\times\vec{m}]| = 5|\vec{m}|*|\vec{n}| sin(\widehat{\vec{m}\vec{n}})=5*2*2*sin( \frac{\pi}{6} )=20* \frac{1}{2}$$=10$
3) Найдём площадь искомого треугольника:

 S =(1/2)*|[cxd]| = (1/2)*10 =5

$S = \frac{1}{2} *|[\vec{c}\times\vec{d}]| = \frac{1}{2} *10 =5$
Ответ: S = 5