Question

4y''+20y'+25y=13+x

y''+9y=e^{-2x}

y''+y'-30y=-3cos5x+2sin5x

Answer 1

1) $4y''+20y'+25y=13+x$
Решим сначала однородное уравнение $4y''+20y'+25y=0$
Составим характеристическое уравнение и решим его:
$4 \lambda^2 + 20 \lambda +25 = 0 \\ \\ \lambda_1 \ \lambda_2 = - \frac{5}{2}$
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня, следовательно, общее решение Y будет в виде:
$Y =C_1 e^{- \frac{5}{2} x} + C_2 x e^{- \frac{5}{2} x}$
Теперь надо найти частное решение y, которое ищем в виде похлжем на правую часть диффура: y = Ax + B.
Найдём производные и подставим в исходное уравнение:
y' = A;  y'' = 0

$4*0+20A+25(Ax + B) = 13 + x \\ \\ 25Ax + (20A+25B) = x + 13 \\ \\ \left \{ {{25A=1} \atop {20A+25B=13}} \right. \\ \\ A = \frac{1}{25}; \:\:\:\:\:\: B = \frac{61}{125} \\ \\ y = \frac{1}{25} x + \frac{61}{125}$

Собираем общее и частное уравнение вместе:
$y = C_1 e^{- \frac{5}{2} x} + C_2 x e^{- \frac{5}{2} x} + \frac{1}{25} x + \frac{61}{125}$

2) $y''+9y=e^{-2x}$
Аналогично, решаем сначала однородное уравнение: $y''+9y= 0$
Характеристическое уравнение и его корни:
$\lambda ^2 + 9 = 0 \\ \\ \lambda_{1,2} = \pm 3i$
Характеристическое уравнение имеет сопряжённые комплексные корни, поэтому общее решение Y имеет вид:
$Y = C_1 cos3x + C_2 sin3x$
Частное решение ищем в виде:
$y = Ae^{-2x}$
т.к. правая часть имеет такой вид.
Находим производные, подставляем в исходное уравнение.
$y' = -2Ae^{-2x} \\ \\ y'' = 4Ae^{-2x} \\ \\ 4Ae^{-2x} +9Ae^{-2x}=e^{-2x} \\ \\ 4A+9A = 1 \\ \\ A = \frac{1}{13} \\ \\ y = \frac{1}{13} e^{-2x}$

Собираем общее и частное решение вместе:
$y = C_1 cos3x + C_2 sin3x +\frac{1}{13} e^{-2x}$

3) $y''+y'-30y=-3cos5x+2sin5x$
Решаем однородное уравнение $y''+y'-30y=0$
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
$\lambda ^2 + \lambda -30 = 0 \\ \\ \lambda _1 = -6; \:\:\:\:\:\: \lambda _1 = 5$
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, общее решение Y будет такое:
$Y = C_1 e^{-6x} + C_2 e^{5x}$
Частное решение ищем в виде:
$y = Acos5x + Bsin5x$
Находим производные, подставляем в исходное уравнение, приравниваем коэффициенты перед синусом и косинусом.
$y' = -5Asin5x + 5Bcos5x \\ \\ y'' = -25Acos5x - 25Bsin5x \\ \\ -25Acos5x - 25Bsin5x -5Asin5x + 5Bcos5x - \\ \\ - 30(Acos5x + Bsin5x) = -3cos5x+2sin5x \\ \\ (-55A + 5B) cos5x + (-5A - 55B)sin5x = -3cos5x + 2sin5x \\ \\ \left \{ {{-55A+5B=-3} \atop {-5A-55B=2}} \right. \\ \\ A= \frac{31}{610} \\ \\ B = - \frac{5}{122} \\ \\ y = \frac{31}{610}cos5x - \frac{5}{122}sin5x$

Собираем общее и частное решения вместе:
$y = C_1 e^{-6x} + C_2 e^{5x} + \frac{31}{610}cos5x - \frac{5}{122}sin5x$