Question

В конус вписана пирамида МАВС, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами АВ=12 и ВС=16. Двугранный угол при катете ВС равен 60 градусов. Найдите площадь грани МВС и площадь боковой поверхности конуса.

Answer 1

По Пифагору определяем гипотенузу АС треугольника АВС.
АС = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √ 400 = 20.
Вершина М проецируется на основание в точку О - середину АС.
Проекция высоты грани ВМС на основание равна половине АВ, то есть 12/2 = 6.
Отсюда высота H пирамиды равна 6*tg 60° = 6√3.
Эта высота равна высоте грани АМС.
Находим высоты других граней.
Высота грани АМВ = √(8² + Н²) = √(64 + 108) = √172 = 2√43.
Высота грани ВМС = √(6² + Н²) = √(36 + 108) = √144 = 12.
Получаем ответ: 
- площадь грани МВС = (1/2)*16*12 =  96.
- площадь боковой поверхности конуса равна πR√(R² + H²) = (40√13)*π.