Question

Основания трапеции относятся как 2:3, а ее площадь равна 50 см2. Найти площади:

а) двух треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю

б) четырех треугольников, на которые данная трапеция делится диагоналями.

Answer 1

1)  Трапеция ABCD.  По условию  BC:AD=2:3  ⇒  BC=2a  ,  AD=3a .
     S(ABCD)=50 см² .
   h=CH⊥AD ,  h - высота не только трапеции, но и ΔACD и ΔАВС.
  S(ABCD)=S(ABC)+S(ACD)=S₁+S₂ =1/2*2a*h+1/2*3a*h=
                 =1/2*h(2a+3a)=1/2*h*5a=5/2*ah
            50=5/2*ah  ⇒  ah=50:5/2=20
          S₁=1/2*2ah=ah=20  ,  S₂=1/2*3a*h=3/2*ah=3/2*20=30
2)  ВС=2а  ,  AD=3a  ,  h=MH⊥AD,  h₁=OM ,  h₂=OH ,  h=h₁+h₂ .
      
$S(ABCD)=S(BOC)+S(AOD)+S(AOB)+S(COD)=\\\\=S_1+S_2+S_3+S_4\\\\S_1=\frac{1}{2}\cdot 2ah_2\; ,\; \; S_2=\frac{1}{2}\cdot 3ah_2\\\\S_3=S(ABD)-S(AOD)=\frac{1}{2}\cdot 3ah-\frac{1}{2}\cdot 3ah_2\\\\S_4=S(ACD)-S(AOD)=\frac{1}{2}\cdot 3ah-\frac{1}{2}3ah_2\\\\S_3=S_4\\\\S_3+S_4=2\cdot (\frac{1}{2}\cdot 3ah-\frac{1}{2}\cdot 3ah_2)=3ah-3ah_2=60-3ah_2$
  
Из пункта №1:  3ah=3*20=60

$S(ABCD)=S_1+S_2+S_3+S_4=\\\\=\frac{1}{2}\cdot 2ah_1+\frac{1}{2}\cdot 3ah_2+60-3ah_2=ah_1+60-\frac{3}{2}\cdot ah_2=\\\\=a\cdot (h-h_2)+60-\frac{3}{2}ah_2=ah-ah_2+60-\frac{3}{2}ah_2=\\\\=20+60-\frac{5}{2}ah_2=80-\frac{5}{2}ah_2\\\\50=80-\frac{5}{2}ah_2\\\\\frac{5}{2}ah_2=30\; ,\; \; ah_2=12\\\\S_2=\frac{3}{2}\cdot ah_2=\frac{3}{2}\cdot 12=18\\\\50=ah_1+60-\frac{3}{2}\cdot ah_2\; ,\; 50=ah_1+60-18,\\\\50=ah_1+42\; ,\; \; ah_1=8\\\\S_1=\frac{1}{2}\cdot 2ah_1=ah_1=8\\\\S_3=S_4=\frac{1}{2}\cdot (60- 3ah_2)=\frac{1}{2}(60-3\cdot 12)=12$