Question

пожалуйста помогите!!!!!!!!!

Answer 1

производная в точке M в направлении единичного вектора $\vec{a}$:

$l$ - выходящий из точки M по направлению вектора $\vec{a}=\{cos(\alpha);\ cos(\beta)\}$ луч

$\frac{\partial z}{\partial l_M}=z'_x(M)*cos(\alpha)+z'_y(M)*cos(\beta)$

---------------
$z'_x=[e^{x^2-y^2}]'_x=e^{x^2-y^2}*[x^2-y^2]'_x=e^{x^2-y^2}*[2x]=2x*e^{x^2-y^2}\\\\ z'_y=[e^{x^2-y^2}]'_x=e^{x^2-y^2}*[x^2-y^2]'_y=e^{x^2-y^2}*[-2y]=-2y*e^{x^2-y^2}$
-----------------
$z'_x(M)=2*2*e^{0}=4\\\\ z'_y(M)=-2*2*e^{0}=-4$
-----------------
$\vec{l}=\{cos(\frac{\pi}{6});\ sin(\frac{\pi}{6})\}=\{\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2}\}$
-----------------
$\frac{\partial z}{\partial l}=z'_x(M)*cos(\alpha)+z'_y(M)*cos(\beta)=\\\\ =4*\frac{\sqrt{3}}{2}+(-4)*\frac{1}{2}=2\sqrt{3}-2$


градиент функции z в точке M:
$grad\ z(M)=z'_x(M)*\vec{i}+z'_y(M)*\vec{j}=4*\vec{i}-4*\vec{j}=\{4;\ -4\}$

градиент функции z в точке M в напривлении вектора $\vec{l}$:
$\frac{\partial z}{\partial l_{grad}}=|grad\ z(M)|=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}$