Question

Помогите пожалуйста!!!!!!

Answer 1

1 Сходимость ряда по признаку Даламбера

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n^2+1}\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{8^{n+1}}{(n+1)^2+1}}{ \frac{8^n}{n^2+1}}= \lim_{n \to \infty} \frac{8^n*8}{(n^2+2n+2)}* \frac{n^2+1}{8^n}= \lim_{n \to \infty} \frac{8(n^2+1)}{n^2+2n+2}=\\\\=8$

Признак Даламбера
При D>1  ряд расходится

2 Сходимость ряда по Лейбницу

 $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2+3}$

1) проверка на знакочередование - да
2) 
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg |\frac{n}{n^2+3} \bigg |= \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{ \frac{1}{n}}{ 1+\frac{3}{n^2}}\bigg|=\\\\ \frac{1}{n}=a\\\\= \lim_{a \to 0} \bigg| \frac{a}{1+3a^2}\bigg|=0$

Ряд СХОДИТСЯ

3. Радиус сходимости и сходимость на концах отрезка

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n*7^{n+1}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{ \frac{x^{n+1}}{(n+1)*7^{n+2}}}{ \frac{x^n}{n*7^{n+1}}}\bigg|= \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{x^n*x*7*7^n*n}{7^2*7^n(n+1)*x^n}\bigg|=\\\\= \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{x*n}{7(n+1)}\bigg|= \frac{|x|}{7} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}= \frac{|x|}{7}$

$\displaystyle \frac{|x|}{7}\ \textless \ 1\\\\|x|\ \textless \ 7$

интервал [-7;7]. Радиус =7

теперь проверим сходимость на концах интервала

x=-7

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n*7^{n+1}}\\\\ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n*7^n}{n*7^{n+1}}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n*7}}$

по лейбницу
1) знакочередование:Да
2)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n*7}=0$

сходится

x=7


$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n*7^{n+1}}\\\\ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{7^n}{n*7^{n+1}}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n*7}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7(n+1)}* \frac{7n}{1} =1$

признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак-
предельный признак сравнения.


сравним с расходящимся гармоническим рядом 

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{7n}}{ \frac{1}{n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{7n}= \frac{1}{7}$


Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом