Question

как найти координаты точки пересечения высоты и меридианы в треугольнике?

Answer 1

Если заданы координаты вершин А,В,С
Находим уравнение сторон АВ, ВС, АС через уравнение пряммой что проходит через две точки
$frac{y-y_0}{y_1-y_0}=frac{x-x_0}{x_1-x_0}$
либо через систему двух линейных уравней используя формулу пряммой с угловым коэффициентом
$y_1=kx_1+b;y_2=kx_2+b;y=kx+b$
(нужно про себя отдельно віделить возможный уникальный случай когда одна из пряммых получается x=c, где с - некоторое действительное число)

Дальше используя признак перпендикулярности пряммых, по угловому коэфициенту пряммой стороны k находим углововй коєфициент высоты опущеной на эту сторону как (-1/k)
$k_1k_2=-1$ - признак перпендикулярности на плоскости

А дальше используя координаты вершины с которой опущена высота ,
и угловой коэфициент через формулу пряммой с угловым коэфициентом находим уравнение высоты.

Решив систему уравнений, где уравнения - уравнения формул задающих пряммые высот - найдем точку пересечения высот

2. Для медиан.
Находим середины сторон по формулах координат середины отрезки
$x_c=frac{x_1+x_2}{2}; y_c=frac{y_1+y_2}{2}$
Потом используем формулу пряммой проходящей через две тчоки либо системой линейных уравнеий через формулу пряммой с угловым коэффициентом, имея координаты вершины треугольника и соотвестующей середины противоположной стороны - уравнения медиан

Имея уравнеия медиан через систему уравнений находим точку пересечения медиан.
(Либо найдя одну из середин сторон и координаты соотвествующей вершины памятуя что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, использовать формулу координат точки делящей отрезок в заданном отношении - но это уже на любителя)