Question

При каком значении x значения выражений 2x+1, x+2 и 8−x будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Answer 1

Признак геометрической последовательности:

$b_n^2=b_{n-1}*b_{n+1}\\\\ ...,\ 2x+1,\ x+2,\ 8-x,\ ...\\\\ (x+2)^2=(2x+1)*(8-x)\\\\ x^2+4x+4=16x-2x^2+8-x\\\\ 3x^2-11x-4=0\\\\ D=11^2+4*3*4=121+48=169=13^2\\\\ x_{1,2}=\frac{11\pm13}{2*3}\\\\ x_1=4\ \ x_2=-\frac{1}{3}\\\\ ...,\ 2*4+1,\ 4+2,\ 8-4,\ ...\\ or\\ ...,\ 2*(-\frac{1}{3})+1,\ -\frac{1}{3}+2,\ 8-(-\frac{1}{3})$

$...,\ 9,\ 6,\ 2,\ ...\\ or\\ ...,\frac{1}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{25}{3}$