Question

Докажите, пожалуйста, тождество.

Answer 1

$\frac{(ab^{-1}+a^{-1}b+1)*(a^{-1}-b^{-1})^2}{a^2b^{-2}+a^{-2}b^{2}-(ab^{-1}+a^{-1}b)}=\\\\\\ =\frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1)*(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}=\\\\\\ =\frac{(\frac{a*a}{b*a}+\frac{b*b}{a*b}+\frac{1*a*b}{a*b})*(\frac{1*b}{a*b}-\frac{1*a}{b*a})^2}{\frac{a^2*a^2}{b^2*a^2}+\frac{b^2*b^2}{a^2*b^2}-(\frac{a*a}{b*a}+\frac{b*b}{a*b})}=$

$=\frac{(\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}+\frac{ab}{ab})*(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab})^2}{\frac{a^4}{a^2b^2}+\frac{b^4}{a^2b^2}-(\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab})}=\\\\\\ =\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}*(\frac{b-a}{ab})^2}{\frac{a^4+b^4}{a^2b^2}-\frac{a^2+b^2}{ab}}=\\\\\\ =\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}*\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}}{\frac{a^4+b^4}{a^2b^2}-\frac{(a^2+b^2)*ab}{ab*ab}}=\\\\\\ =\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}*\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}}{\frac{a^4+b^4-ab(a^2+b^2)}{a^2b^2}}=$

$=\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}*(a-b)^2}{a^4+b^4-ab(a^2+b^2)}=\\\\ =\frac{[a^2+b^2+ab]*(a-b)^2}{ab*[a^4+b^4-ab(a^2+b^2)]}=\\\\ =\frac{[a^2+b^2+ab]*(a-b)^2}{ab*[a^4+b^4-a^3b-ab^3]}=\\\\ =\frac{[a^2+b^2+ab]*(a-b)*(a-b)}{ab*[a^4-a^3b-ab^3+b^4]}=\\\\ =\frac{(a^3-b^3)*(a-b)}{ab*[a^3(a-b)-b^3(a-b)]}=\\\\ =\frac{(a^3-b^3)*(a-b)}{ab*[(a^3-b^3)(a-b)]}=\\\\ =\frac{1}{ab}$

Если бы в условии в знаменателе вместо $a^2b^{-2}+a^{-2}b^{2}-(ab^{-1}+a^{-1}b)$ было $a^2b^{-2}-a^{-2}b^{2}+(ab^{-1}-a^{-1}b)$

то действительно, ответ получился бы $\frac{a-b}{ab(a+b)}$