Question

Найдите наименьшее значение многочлена X^2+ 2x + 21 + 2y^2+ 8y
A) 12
Б) 5
В) 21
Г) 1

Answer 1

$x^2+2x+21+2y^2+8y=\\\\ =x^2+2x+1+20+2[y^2+4y]=\\\\ =(x+1)^2+20+2[y^2+4y+4-4]=\\\\ =(x+1)^2+20+2[(y+4)^2-4]=\\\\ =(x+1)^2+20+2(y+4)^2-8=\\\\ =(x+1)^2+2(y+4)^2+12.$

Минимальное значение будет достигаться при условии:
$(x+1)^2=0\ \ and\ \ (y+4)^2=0$

$(x^2+2x+21+2y^2+8y)_{min}=0+2*0+16=12$