Question

Решите неравенство с логарифмом

Answer 1

ОДЗ: $\displaystyle\mathtt{\left\{{{x\ \textgreater \ 0}\atop{x\neq(\frac{1}{2})^n,~n\in[0;2]}}\right}$

изобразим неравенство слегка иначе: $\mathtt{\frac{1}{\log_{64}4x}\leq\frac{1}{\log_82x}+\frac{1}{\log_2x}}$

дальше – больше! сплошные выносы степеней и оснований логарифмов с последующей заменой $\mathtt{\log_2x=a}$: 

$\mathtt{\frac{6}{\log_24x}\leq\frac{3}{\log_22x}+\frac{1}{\log_2x};~\frac{6}{\log_2x+2}\leq\frac{3}{\log_2x+1}+\frac{1}{\log_2x};~\frac{6}{a+2}\leq\frac{3}{a+1}+\frac{1}{a};~}\\\mathtt{\frac{6a(a+1)-3a(a+2)-(a+1)(a+2)}{a(a+1)(a+2)}\leq0;~\frac{(2a+1)(a-2)}{a(a+1)(a+2)}\leq0}$

решение неравенства с заменой: $\mathtt{a\in(\infty;-2)U(-1;-\frac{1}{2}]U(0;2]}$

обратная замена: $\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_2x\ \textless \ -2}\\\mathtt{-1\ \textless \ \log_2x\leq-\frac{1}{2}}\\\mathtt{0\ \textless \ \log_2x\leq2}\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\ \textless \ \frac{1}{4}}\\\mathtt{\frac{1}{2}\ \textless \ x \leq\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\mathtt{1\ \textless \ x \leq4}\end{array}\right}$

учитывая ОДЗ, получаем окончательный ответ: $\mathtt{x\in(0;\frac{1}{4})U(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}]U(1;4]}$