Question

10 раз кидали игральный кубик. Какая вероятность того,что шестерка выпадет:
А)1 раз
Б)2 раза
В)3 раза?

Answer 1

Вероятность того, что в 10 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления шестерки равна P=1/6, событие наступит ровно 1; 2; 3 раз(а), вычисляется по формуле Бернулли

$A)~ P_{10}(1)=C^1_{10} p^1\cdot(1-p)^{10-1}=10p(1-p)^9=10\cdot \dfrac{1}{6} \cdot \bigg(1-\dfrac{1}{6}\bigg)^9=\\ \\ \\ =10\cdot\dfrac{1}{6}\cdot \bigg(\dfrac{5}{6}\bigg)^9= 2\cdot \bigg(\dfrac{5}{6}\bigg)^{10}$

$B)~ P_{10}(2)=C^2_{10} p^2\cdot(1-p)^{10-2}=C^2_{10}p(1-p)^8=C^2_{10}\cdot \dfrac{1}{6^2} \cdot \bigg(1-\dfrac{1}{6}\bigg)^8=\\ \\ \\ = \dfrac{10!}{8!2!} \cdot\dfrac{1}{6^2}\cdot \bigg(\dfrac{5}{6}\bigg)^8= 45\cdot \dfrac{1}{6^2} \cdot\bigg( \dfrac{5}{6} \bigg)^8=1.5\cdot\bigg( \dfrac{5}{6} \bigg)^9$

$C)~ P_{10}(3)=C^3_{10} p^3\cdot(1-p)^{10-3}=C^3_{10}p(1-p)^7=C^3_{10}\cdot \dfrac{1}{6^3} \bigg(1-\dfrac{1}{6}\bigg)^7=\\ \\ \\ = \dfrac{10!}{7!3!} \cdot\dfrac{1}{6^3}\cdot \bigg(\dfrac{5}{6}\bigg)^7= 120\cdot \dfrac{1}{6^3} \cdot\bigg( \dfrac{5}{6} \bigg)^7= \dfrac{2}{3} \cdot\bigg( \dfrac{5}{6} \bigg)^8$