Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
$y=2x^2+6x-1,\ \ \ \ \ y=-x^2+x+1$

Answer 1

$y(x) = 2x^2+6x-1\\ g(x) = -x^2+x+1\\\\ y(x) = g(x)\\ 2x^2+6x-1=-x^2+x+1\\ 3x^2+5x-2=0\\ (x+2)(3x-1)=0\\ x_1=-2;x_2=\frac{1}{3}\\\\ S=\int_{-2}^{\frac{1}{3}}(g(x)-f(x))dx=\\\\ =\int_{-2}^{\frac{1}{3}}(-3x^2-5x+2)dx=(-x^3-\frac{5}{2}x^2+2x)|_{-2}^{\frac{1}{3}}=\\\\ =-\frac{1}{27}-\frac{5}{18}+\frac{2}{3}-8+10+4=6-\frac{2+15-36}{54}=\\\\ =6\frac{19}{54}$

Answer 2

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:

$\left \{ {{y=2x^2+6x-1} \atop {y=-x^2+x+1}} \right.\\2x^2+6x-1=-x^2+x+1\\3x^2+5x-2=0\\ \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2= \frac{1}{3} }} \right.$

$x_1,x_2$ - пределы интегрирования. (на рисунке изображены как "a" и "b".

$S= \int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} ({-x^2+x+1-(2x^2+6x-1)}) \, dx= \int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {-3x^2-5x+2} \, dx=\\=\int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {-3x^2 \, dx-\int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {5x} \, dx+\int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {2} \, dx=- \frac{3x^3}{3} |^{ \frac{1}{3}}_{-2} - \frac{5x^2}{2} |^{ \frac{1}{3}}_{-2} + 2x \|^{ \frac{1}{3}}_{-2}=$
$= \frac{-6x^3-15x^2+12x}{6}\ |^{ \frac{1}{3}}_{-2}= -\frac{x}{2}(2x^2+5x-4)\ |^{ \frac{1}{3}}_{-2}= -\frac{1}{6}( \frac{2}{9}+\frac{5}{3}-4)-\\-(- (-\frac{2}{2})(8-10-4))= \ \frac{19}{54}+\frac{324}{54}= \frac{343}{54}=6\frac{19}{54}$