Question

исследуйте функцию y= 2x√1-x на монотонность и экстремумы

Answer 1

Находим производную функции первого порядка.
      $y'=(2x \sqrt{1-x} )'=(2x)'\cdot\sqrt{1-x}+2x\cdot (\sqrt{1-x})'=\\ \\ =2\sqrt{1-x}+2x\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot(1-x)'=2\sqrt{1-x}- \frac{x}{\sqrt{1-x}} = \frac{2-3x}{\sqrt{1-x}}$

$y'=0;~~~ \frac{2-3x}{\sqrt{1-x}}=0$
Дробь обращается в нуль, если числитель дроби равен нулю:
$2-3x=0;~~~\Rightarrow~~~ x=\frac{2}{3}$

_____+____(2/3)____-___(1)
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;\frac{2}{3})$, а убывает - $x \in (\frac{2}{3};1).$
В точке х=2/3 функция имеет локальный максимум.