Question

Вычислить площадь плоской области , ограниченной данными линиями.
$y=-x^{2} +4x, y=x+2$

Answer 1

$\left \{ {{y=-x^2+4x} \atop {y=x+2}} \right.\\-x^2+4x=x+2\\x^2-3x+2=0\\x_1=2\\x_2=1$

$x_1,x_2$ - пределы интегрирования. (на рисунке изображены как "a" и "b").

$S=\int\limits^b_a {f_1(x)-f_2(x)} \, dx \\S=\int\limits^2_1 {-x^2+4x-(x+2)} \, dx =\int\limits^2_1 {-x^2+4x-x-2}=\int\limits^2_1 {-x^2+3x-2}=\\=\int\limits^2_1 {-x^2} \, dx+\int\limits^2_1 {3x} \, dx - \int\limits^2_1 {2} \, dx= -\frac{x^3}{3}\ |^2_1 +3 \frac{x^2}{2}\ |^2_1-2x\ |^2_1=\\= (- \frac{2^3}{3} +\frac{1}{3})+ (\frac{12}{2} -\frac{3}{2})-4+2= -\frac{14}{6}-\frac{9}{6}+ \frac{24}{6}=\frac{1}{6}$