Question

Помогите решить cos4x-cos^2 x=1

Answer 1

cos4x=1+cos^2x
Справа выражение больше либо равно 1.
А слева меньше либо равно1.
Возможен случай только cos(x)=0
x=pi/2+pi*n  (1)
причем
4х=2*pi*k
n  и  k -целые  (2)
Если (1) верно, то и (2) выполняется,
поэтому ответ: x=pi/2+pi*n

Answer 2

cos(4x) - cos²x = 1
                                Формула    cos (2α) = 2cos² α - 1
2cos²(2x) - 1 - cos²x = 1
2cos²(2x) - cos²x - 2 = 0
                                Формула    cos (2α) = 2cos² α - 1
2(2cos²x - 1)² - cos²x - 2 = 0
2(2cos²x - 1)² - 0,5(2cos²x - 1) - 2,5  = 0
Замена   z = 2cos²x - 1
2z² - 0,5z - 2.5 = 0        | *2
4z² - z - 5 = 0
D = 1 - 4*4*(-5) = 81 = 9²
z₁ = (1 - 9)/8 = -1           z₂ = (1 + 9)/8 = 1,25
Обратная замена
1) 2cos²x - 1 = -1
    cos²x = 0   ⇒    cos x = 0     ⇒     x₁ = π/2 + πn, n∈Z
2) 2cos²x - 1 = 1,25
    2cos²x = 2,25 
    cos²x = 1,125 -  не имеет решения  (cos²x ≤ 1)

Ответ:  x = π/2 + πn, n∈Z