Question

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ( Линейные уравнения первого порядка)

Answer 1

y' - 2y = -x²

решаем однородное:

y' - 2y = 0

y' = 2y

dy/y = 2dx

lny - lnC = 2x 
y = C*e^{2x}

решение ищем в виде: y = C(x) * e^{2x}

C'(x) * e^{2x} + 2C(x) * e^{2x} - 2C(x) * e^{2x} + x² = 0

C'(x)  = -x²*e^{-2x}

C(x) = -∫x²e^{-2x}dx = 0,5∫x²d(e^{-2x}) = 0,5x²e^{-2x} - ∫xe^{-2x}dx = 0,5x²e^{-2x} + 0,5∫xd(e^{-2x}) = 0,5x²e^{-2x} + 0,5xe^{-2x} - 0,5∫e^{-2x}dx = 0,5e^{-2x}(x² + x +0,5) + C1

y = 0,5(x² + x + 0,5) + C1*e^{2x}

y(0) = 0,25 + C1 = 0 => C1 = -0,25

y = 0,5(x² + x + 0,5) -0,25e^{2x}