Question

. В треугольнике АВС прямая MN , параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN=15 см и NC=5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС=15 см. 5. В прямоугольном треугольнике АВС =90°, АС=8 см, =45°. Найдите: а)АС; б) высоту СD, проведенную к гипотенузе. 6. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого С-прямой, катет ВС=6 см и А=60°. Найдите: а) остальные стороны ∆АВС б) площадь ∆АВС в) длину высоты, опущенной из вершины С.

Answer 1

4. треугольники BMN и BAC подобны (кажется по 2 признаку :-) )
отсюда находим MN
BN/MN=BC/AC   15/MN=20/15 MN=(15*15)/20=11.25
5. один из углов равен 45°, значит треугольник прямоугольный равнобедренный - третий угол также равен 45° и катеты соответственно равны. Находим их по теореме Пифагора. 2*AC²=8² 2*AC²=64  AC²=32 AC=4√2
В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой, т.е. делит гипотенузу пополам. Отсюда находим высоту СD по теореме Пифагора. AC²-AD²=CD²  (4√2)²-4²=32-16=16=CD²     →    CD=4

6. угол А равен 60°, следовательно угол В равен 30°. По теореме синусов находим второй катет АС. АС/sin30°=BC/sin60° AC=(BC/sin60°)*in30°=6√2*0.5=3√2. По теореме Пифагора находим гипотенузу АВ. АВ²=AC²+BC²=18+36=54 AB=√54=√9*√6=3√6
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. S=0.5*(6*3√2)=0.5*18√2=9√2
Высоту, опущенную из вершины С (например CD), можно найти из другой формулы нахождения площади треугольника: площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону, т.е. S=0.5*AB*CD   9√2=0,5*3√6*CD Отсюда CD=9√2/(0,5*3√6)=2√3