Question

найти площадь фигуры ограниченной графиками функции y=-x^2-4x и y=4+x

Answer 1

$\left \{ {{y=-x^2-4x} \atop {y=4+x}} \right.\\-x^2-4x=4+x\\x^2+5x+4=0\\x_1=-1\\x_2=-4$
$x_1,x_2$ - пределы интегрирования. (на рисунке изображены как "a" и "b").

$S= \int\limits^{-1}_{-4} {-x^2-4x-(4+x)} \, dx= \int\limits^{-1}_{-4} {-x^2-4x-4-x} \, dx=\\= \int\limits^{-1}_{-4} {-x^2} \, dx-\int\limits^{-1}_{-4} {5x} \, dx-\int\limits^{-1}_{-4} {4} \, dx=- \frac{x^3}{3}\ |^{-1}_{-4}- \frac{5x^2}{2} |^{-1}_{-4}-4x |^{-1}_{-4}=\\= \frac{-2x^3-15x^2-24x}{6}\ |^{-1}_{-4}+C= -\frac{x}{6}(2x^2+15x+24)\ |^{-1}_{-4}=\\=-(-\frac{1}{6})(2-15+24)-(- (-\frac{4}{6}))(32-60+24)= \frac{27}{6}=4,5$