Question

Точка M равноудалена от вершин C и D прямоугольника ABCD. Из точки M к стороне AB проведён перпендикуляр MN. Доказать что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости MNO где O-точка пересечения диагоналей прямоугольника . Пожалуйста помогите

Answer 1

Множество точек равноудаленных от концов отрезка образует плоскость перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Таким образом, точка M находится на этой плоскости по определению.

Поскольку AB параллельна CD (по определению прямоугольника), то эта плоскость также является перпендикулярной к AB и проходит через ее середину, таким образом перпендикуляр N лежит в этой же плоскости и делит AB пополам.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам и эта точка равноудалена от всех вершин, а следовательно тоже принадлежит плоскости равноудаленных точек.

Таким образом, мы установили что все три точки из условия принадлежат одной и той же плоскости, которая перпендикулярна плоскости прямоугольника.

НО!!! Данное доказательство работает только при условии, что точка M не принадлежит плоскости прямоугольника. В противном случае - M=середина CD и точки M N O лежат на одной прямой в плоскости прямоугольника. В этом случае утверждение задачи в строгом смысле не верно.