Question

решить интеграл
dx/(4sin^(2)x-7cos^(2)x)

Answer 1

Формулы:
$cos^2x=1-sin^2x \\ \\ \frac{1}{cos^2x}=1+tg^2x \\ \\ \frac{sin^2x}{cos^2x}=tg^2x$

Также воспользовались внесением под знак дифференциала:
$d(tgx)= \frac{1}{cos^2x} dx$


$\int\limits { \frac{dx}{4sin^2x -7cos^2x} } \,= \int\limits { \frac{dx}{4sin^2x -7(1-sin^2x)} } \,= \int\limits { \frac{dx}{4sin^2x -7+7sin^2x} } \, =\\ \\= \int\limits { \frac{dx}{11sin^2x -7} } \,= \int\limits { \frac{dx}{cos^2x(11 \frac{sin^2x}{cos^2x} - 7\frac{1}{cos^2x})} } \,= \int\limits { \frac{d(tgx)}{11tg^2x -7(1+ tg^2x) } } \,= \\ \\ = \int\limits { \frac{d(tgx)}{11tg^2x -7-7tg^2x} } \,= \int\limits { \frac{d(tgx)}{4tg^2x -7} } \,= \frac{1}{2} \int\limits { \frac{d(2tgx)}{4tg^2x -7} }=|2tgx=y|$

$=\frac{1}{2} \int\limits { \frac{d(y)}{y^2 -7} }=\frac{1}{2}* \frac{1}{2 \sqrt{7} } ln| \frac{y- \sqrt{7} }{y+\sqrt{7} } |+C= \frac{1}{4 \sqrt{7} } ln| \frac{2tgx- \sqrt{7} }{2tgx+\sqrt{7} } |+C$

Answer 2

Для начала преобразуем выражение в знаменателе.
$\displaystyle 4sin^2x-7cos^2x=4*\frac{1-cos2x}{2}-7*\frac{1+cos2x}{2}=\\=2-2cos2x-\frac{7}{2}-\frac{7}{2}cos2x=-\frac{3+11cos2x}{2}\\\\\\\int\frac{dx}{4sin^2x-7cos^2x}=-2\int\frac{dx}{3+11cos2x}=\\=-2\int\frac{dt}{(1+t^2)*\frac{3+3t^2+11-11t^2)}{1+t^2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(2t)}{4t^2-7}=\\=\frac{1}{4\sqrt{7}}ln|\frac{2t-\sqrt{7}}{2t+\sqrt{7}}|+C=\frac{1}{4\sqrt{7}}ln|\frac{2tgx-\sqrt{7}}{2tgx+\sqrt{7}}|+C\\\\\\t=tgx\\x=arctgt\\dx=\frac{dt}{1+t^2}\\cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$