Question

задумали двузначное число, которое делиться на 15. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось число, которое при делении на 9 дает остаток 6. Какое это число? Решение:

Answer 1

Число делится на 15, значится, число должно делится одновременно на 3 и на 5.
Исходное число задается уравнением
15≤10n+m≤90. Где m=0 или 5.(признак делимости на 5)
Новое число задается уравнением
114≤10(10n+m)+m≤996
Пусть m=0
15≤10n≤90=>1,5≤n≤9⇒1≤n≤9
114≤100n≤996=>1,14≤10n≤9,96⇒1≤n≤9
Теперь используем признак делимости на 3.Сумма цифр должна нацело делится на 3.
При m=0, это могут быть числа 30,60,90
Теперь приписываем m справа, получаем: 300,600,900(900, сразу можно убрать как вариант ответа, т.к. 900 нацело делится на 9)
300:9=33+3(ост.) - не подходит, по условию остаток должен быть равен 6.
600:9=66+6(ост.) - подходит, условие соблюдено.

Пусть m=5
15≤10n+5≤90⇒10≤10n≤85⇒1≤n≤8,5⇒1≤n≤8
114≤10(10n+5)+5≤996⇒109≤10(10n+5)≤991⇒10,9≤10n+5≤99,1⇒
⇒5,9≤10n≤94,1⇒0,59≤n≤9,41⇒0≤n≤9
Из двух условий получаем 1≤n≤8
Теперь используем свойство делимости на 3
При m=5, это могут быть числа 15,45,75
Теперь приписываем m справа, получаем: 155,455,755
155:9=17+2(ост.), не подходит, по условию остаток должен быть равен 6.
455:9=50+5(ост.), не подходит, по условию остаток должен быть равен 6.
755:9=83+8(ост.), не подходит, по условию остаток должен быть равен 6.
Ответ: задуманное число 60

П.с.: слишком много воды если честно, можно было сделать проще.
Признак делимости на 5,цифра оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 3, сумма цифр делится на 3 нацело.
Из двух условий вытекает, что это числа: 15,30,45,60,75,90.
Далее приписываем справа цифру единиц. И проверяем второе условие.Ответ так же получается 60.