Question

Помогите ,пожалуйста ,решить 2 однородных дифференциальных уравнения            
1)  ( x+2y)dx -xdy =0
2) ( y+ подкоренное выражение  xy) dx-xdy=0

Answer 1

$1)(x+2y)dx=xdy\frac{dy}{dx}=frac{x+2y}{x},;frac{dy}{dx}=1+2frac{y}{x}\t= frac{y}{x},;y=tx,;y`=t`x+t\t`x+t=1+2t\t`x=1+t\t`=frac{dt}{dx}=frac{1+t}{x}\int {frac{dt}{1+t}}=int frac{dx}x}\ln|1+t|=ln|x|+ln|C|\1+t=Cx,;;1+frac{y}{x}=Cx,;;frac{y}{x}=Cx-1,\y=x(Cx-1)$
$2) ;(y+sqrt{xy})dx=xdy\frac{dy}{dx}=frac{y+sqrt{xy}}{x}=frac{y}{x}+sqrt{frac{y}{x}}\t=frac{y}{x},;;y=tx,;;y`=t`x+t\t`x+t=t+sqrt{t}\t`=frac{dt}{dx}=frac{sqrt{t}}{x}\intfrac{dt}{sqrt{t}}=intfrac{dx}{x}\2sqrt{t}=ln|x|+ln|C|\2sqrt{frac{y}{x}}=ln|Cx|\sqrt{frac{y}{x}}=frac{1}{2}ln|Cx|\sqrt{frac{y}{x}}=lnsqrt{|Cx|}\y=xln^2sqrt{|Cx|}$

Answer 2

Спасибо. Что такое t ? У нас немного по другому решается.