Question

Постройте график функции y=(x2 + 4)(x-1)/1-x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Answer 1

Заданная функция y=(x² + 4)(x-1)/(1-x) равносильна функции у = -х² - 4 если х не принимает значение, равное 1.
Это уравнение параболы ветвями вниз, симметричной оси Оу с вершиной в точке (0; -4).
Заданная прямая y=kx, имеющая с графиком ровно одну общую точку, - это касательная к графику, проходящая через начало координат.
Уравнение касательной: у = y'(xo)(x - xo) + y(xo).
Производная равна -2х.

Производная y'(xo) в точке хо  равна -2хо.

Функция y(xo) в точке хо равна -хо² - 4.

Значения х и у подставим (0; 0).

 0 = -2хо(0 - xo) - хо² - 4..

0 = 2хо² - хо² - 4.

Отсюда хо² = 4, хо = +-2.

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.

Получаем 2 ответа: у = -2*2х = -4х,

                                  у = -2*(-2)х = 4х.