Question

Решить неравенство $|x^4-x^3+x^2+5x-6|+|x^4+x^3+x^2-5x-6| \ge 24$

Answer 1

$f(x)=x^4-x^3+x^2+5x-6\\\\ f(-x)=x^4+x^3+x^2-5x-6$

$|f(x)|+|f(-x)| \geq 24\\\\ |f(x)| \geq 24-|f(-x)|\\\\ \left[ \begin{array}{l} f(x) \geq 24-|f(-x)|\\ f(x) \leq -24+|f(-x)| \end{array} \right. \\\\\\ \left[ \begin{array}{l} |f(-x)| \geq 24-f(x)\\ |f(-x)| \geq 24+f(x) \end{array} \right.$

$\\\\\\ \left[ \begin{array}{l} f(-x) \geq 24-f(x)\\ f(-x) \leq -24+f(x)\\ f(-x) \geq 24+f(x)\\ f(-x) \leq -24-f(x) \end{array} \right. \\\\\\ \left[ \begin{array}{l} f(-x) +f(x)\geq 24\\ f(-x) - f(x)\leq -24\\ f(-x)-f(x) \geq 24\\ f(-x)+f(x) \leq -24 \end{array} \right.$

$f(-x)+f(x)=2(x^4+x^2-6)\\\\ f(-x)+f(x)=2(x^3-5x)\\\\ \left[ \begin{array}{l} x^4+x^2-6\geq 12\\ x^3-5x\leq -12\\ x^3-5x \geq 12\\ x^4+x^2-6 \leq -12 \end{array} \right. \\\\\\ \left[ \begin{array}{l} x^4+x^2-18\geq 0\\ x^3-5x+12\leq 0\\ x^3-5x-12 \geq 0\\ x^4+x^2+6 \leq 0 \end{array} \right.$
----------------------------------------
Четвертое неравенство:
$x^4+x^2+6 \leq 0\\\\ x^4+2*x^2*\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+6-0.25 \leq 0\\\\ (x^2+0.5)^2+5.75 \leq 0\\\\ x\notin(-\infty;\ +\infty)$
-----------------------------------------
Первое неравенство:
$x^4+x^2-18 \geq 0\\\\ D=1+4*18=73\\\\ (x^2-\frac{-1+\sqrt{73}}{2})(x^2-\frac{-1-\sqrt{73}}{2}) \geq 0\\\\ (x^2-\frac{-1+\sqrt{73}}{2})(x^2+\frac{1+\sqrt{73}}{2}) \geq 0\\\\ x^2-\frac{-1+\sqrt{73}}{2} \geq 0\\\\ (x-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}})(x+\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}) \geq 0\\\\ x\in(-\infty;\ -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}};\ +\infty)$
---------------------------------------
Второе неравенство:
$x^3-5x+12 \leq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=-3$

Зная это:
$x^3-5x+12=(x+3)(x^2+bx+4)=(x+3)(x^2-3x+4)\\\\ (x+3)(x^2-3x+4) \leq 0\\\\ (x+3)(x^2-2*x*\frac{3}{2}+(\frac{3}{2})^2+4-2.25) \leq 0\\\\ (x+3)[(x-1.5)^2+1.75] \leq 0\\\\ x+3 \leq 0\\\\ x \leq -3\\\\ x\in(-\infty;\ -3]$
---------------------------------------
Третье неравенство:
$x^3-5x-12 \geq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=3$

Зная это:
$x^3-5x-12=(x-3)(x^2+bx+4)=(x+3)(x^2+3x+4)\\\\ (x-3)(x^2+3x+4) \geq 0\\\\ (x-3)(x^2+2*x*\frac{3}{2}+(\frac{3}{2})^2+4-2.25) \geq 0\\\\ (x-3)[(x+1.5)^2+1.75] \geq 0\\\\ x-3 \geq 0\\\\ x \geq 3\\\\ x\in[3;\ +\infty)$
---------------------------------
$\left[ \begin{array}{l} x\in(-\infty;\ -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}};\ +\infty)\\ x\in(-\infty;\ -3]\\ x\in[3;\ +\infty)\\ x\notin(-\infty;\ +\infty) \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} x\in(-\infty;\ -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}};\ +\infty)\\ x\in(-\infty;\ -3]\cup[3;\ +\infty)\\ \end{array} \right.$

$3\ ?\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}\\\\ 9\ ?\ \frac{-1+\sqrt{73}}{2}\\\\ 18\ ?\ -1+\sqrt{73}\\\\ 19\ ?\ \sqrt{73}\\\\ 361=19^2\ \textgreater \ 73$

$\left[ \begin{array}{l} x\in(-\infty;\ -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}};\ +\infty)\\ x\in(-\infty;\ -3]\cup[3;\ +\infty)\\ \end{array} \right. \\\\\\ x\in(-\infty;\ -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}};\ +\infty)$
------------------------------

Ответ: $(-\infty;\ -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}}]\cup[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2}};\ +\infty)$