Question

Разница между вторым и первым членами равна 20, а разница между четвертым и первым членами равна 140. Найти прогрессию.

Answer 1

Дана геометрическая прогрессия  $\{b_n\};~~~b_n=b_1q^{n-1}$

$\displaystyle\left \{ {{b_2-b_1=20} \atop {b_4-b_1=140}}\right.~~\Leftrightarrow~~\left \{ {{b_1q-b_1=20} \atop {b_1q^3-b_1=140}} \right. \\\\\\\left \{ {{b_1(q-1)=20} \atop {b_1(q^3-1)=140}} \right. ~~\Leftrightarrow~~\left \{ {{b_1(q-1)=20} \atop {\dfrac{b_1(q^3-1)}{b_1(q-1)}=\dfrac{140}{20}}} \right. \\\\\\\left \{ {{b_1(q-1)=20} \atop {\dfrac{(q-1)(q^2+q+1)}{(q-1)}=7}} \right.~~\Leftrightarrow~~\left \{ {{b_1(q-1)=20} \atop {q^2+q+1=7}} \right.$

$\displaystyle\left \{ {{b_1(q-1)=20} \atop {q^2+q-6=0}} \right.~~\Leftrightarrow~~\left \{ {{b_1=\dfrac{20}{q-1}} \atop {(q+3)(q-2)=0}} \right.\\\\1)~\left \{ {{b_1=\dfrac{20}{-3-1}=-5} \atop {q=-3~~~~~~~~~~~~}} \right.~~~~2)~\left \{ {{b_1=\dfrac{20}{2-1}=20} \atop {q=2~~~~~~~~~~}} \right.~~~~$

В ответе две геометрических прогрессии

1) q=-3; b₁=-5;       -5; 15; -45; 135; -405; 1215; ...

2) q=2; b₁=20;      20; 40; 80; 160; 320; 640; ...