Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:

а) y''= 2sin2x, если у=3, y'=0 при х=0

б) y''= $\frac{3}{ x^{3} }$, если y=0, y'=1 при х=1

Answer 1

Оба диффура с разделяющимися переменными. Надо просто два раза взять интеграл от левой и правой части. Потом подставить икс и игрек в полученные уравнения и найти неизвестные постоянные.

а) $y''= 2sin2x$

$\int\limits {y''} \, dy = \int\limits {2sin2x} \, dx \\ \\ y' = -cos2x + C_1 \\ \\ \int\limits {y'} \, dy = \int\limits {(-cos2x + C_1)} \, dx \\ \\ y = - \frac{1}{2}sin2x+C_1 x + C_2 \\ \\ \\ y'(0) = -cos(2*0) + C_1 = -1 + C_1 = 0 \\ C_1 = 1 \\ \\ \\ y(0) = - \frac{1}{2}sin(2*0)+1* 0 + C_2 = C_2 = 3 \\ C_2 = 3$

Итак, частно решение:
$\\ y = - \frac{1}{2}sin2x+x + 3$

б) $y''= \frac{3}{x^3} = 3x^{-3}$

$\int\limits {y''} \, dy = \int\limits {3x^{-3}} \, dx \\ \\ y' = - \frac{3}{2} x^{-2} + C_1 \\ \\ \int\limits {y'} \, dy = \int\limits {(-\frac{3}{2} x^{-2} + C_1 )} \, dx \\ \\ y = \frac{3}{2} x^{-1} + C_1 x + C_2 = \frac{3}{2x} + C_1 x + C_2 \\ \\ \\ y'(1) = - \frac{3}{2} * 1^{-2} + C_1 = - \frac{3}{2} + C_1 = 1 \\ C_1 = \frac{5}{2} \\ \\ \\ y(1) = \frac{3}{2*1} + \frac{5}{2} * 1 + C_2 = 4 + C_2 = 0 \\ C_2 = -4$

Частное решение, при указанных начальных значениях:

$y = \frac{3}{2x} + \frac{5}{2} x - 4$