Question

Решить неравенство

$|x^4-x^3+x^2+5x-6|+|x^4+x^3+x^2-5x-6| \leq 24$

Answer 1

$f(x)=x^4-x^3+x^2+5x-6\\\\ f(-x)=x^4+x^3+x^2-5x-6$

$|f(x)|+|f(-x)| \leq 24\\\\ |f(x)| \leq 24-|f(-x)|\\\\ |f(-x)|-24 \leq f(x) \leq 24-|f(-x)|\\  \begin{equation*} \begin{cases} |f(-x)| \leq 24+f(x)\\ |f(-x)| \leq 24-f(x) \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{cases} -24-f(x) \leq f(-x) \leq 24+f(x)\\ -24+f(x) \leq f(-x) \leq 24-f(x) \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} f(-x) \geq -24-f(x)\\ f(-x) \leq 24+f(x)\\ f(-x) \geq -24+f(x)\\ f(-x) \leq 24-f(x) \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{cases} f(-x)+f(x) \geq -24\\ f(-x) -f(x)\leq 24\\ f(-x) -f(x)\geq -24\\ f(-x)+f(x) \leq 24 \end{cases} \end{equation*}$
--------------------------------------------------
$f(-x)+f(x)=2(x^4+x^2-6)\\\\ f(-x)-f(x)=2(x^3-5x)$
--------------------------------------------------
Первое неравенство из системы:
$x^4+x^2-6 \geq -12\\\\ x^4+x^2+6 \geq 0\\\\ x^4+2*x^2*\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2-0.25+6 \geq 0\\\\ (x^2+0.5)^2+5.75 \geq 0\\\\ x\in(-\infty;\ +\infty)$
---------------------------------------------------
 Четвертое неравество из системы:
$x^4+x^2-6 \leq 12\\\\ x^4+x^2-18 \leq 0\\\\ D=1+4*18=63\\\\ (x^2-\frac{-1+\sqrt{73}}{2})(x^2-\frac{-1-\sqrt{73}}{2}) \leq 0\\\\ (x^2-\frac{-1+\sqrt{73}}{2})(x^2+\frac{1+\sqrt{73}}{2}) \leq 0\\\\ x^2-\frac{-1+\sqrt{73}}{2} \leq 0\\\\ (x-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} })(x+\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }) \leq 0\\\\ x\in[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} };\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }]$
----------------------------------------------
Второе неравенство из системы:
$x^3-5x \leq 12\\\\ x^3-5x-12 \leq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=3$

Зная это:
$x^3-5x-12=(x-3)*(x^2+bx+4)=(x-3)(x^2+3x+4)$

$(x-3)(x^2+3x+4) \leq 0\\\\ (x-3)(x^2+2*x*1.5+2.25+4-2.25) \leq 0\\\\ (x-3)[(x+1.5)^2+1.75] \leq 0\\\\ x-3 \leq 0\\\\ x \leq 3\\\\ x\in(-\infty;\ 3]$
-----------------------------------------------
Третье неравенство из системы:
$x^3-5x \geq -12\\\\ x^3-5x+12 \geq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=-3$

Зная это:
$x^3-5x+12=(x+3)*(x^2+bx+4)=(x+3)(x^2-3x+4)$

$(x+3)(x^2-3x+4) \geq 0\\\\ (x+3)(x^2-2*x*1.5+2.25+4-2.25) \geq 0\\\\ (x+3)[(x-1.5)^2+1.75] \geq 0\\\\ x+3 \geq 0\\\\ x \geq -3\\\\ x\in[-3;+\infty)$
-------------------------------------------
$\begin{equation*} \begin{cases} x\in(-\infty;\ +\infty)\\ x\in(-\infty;\ 3]\\ x\in[-3;+\infty)\\ x\in[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} };\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }] \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{cases} x\in[-3;\ 3]\\ x\in[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} };\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }] \end{cases} \end{equation*}$

$3\ \ ?\ \ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }\\\\ 9\ \ ?\ \ \frac{-1+\sqrt{73}}{2}\\\\ 18\ \ ?\ \ -1+\sqrt{73}\\\\ 19\ \ ?\ \ \sqrt{73}\\\\ 361=19^2\ \textgreater \ 73$

$\begin{equation*} \begin{cases} x\in[-3;\ 3]\\ x\in[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} };\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }] \end{cases} \end{equation*}$

$x\in[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} };\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }]$
--------------------------------
Ответ: $[-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} };\ \sqrt{\frac{-1+\sqrt{73}}{2} }]$