Question

боже мой, объясните откуда 3\2 и куда все делось и что тут вообще разложилось и перемножилось

Answer 1

задана функция $y=x\sqrt{x}$

учитывая свойство степеней с одинаковым основанием и дробным показателем
$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m] {a^n}$
$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2] {a^1}=\sqrt{a}$

$a^n*a^m=a^{n+m}$
можно переписать в виде 
$y=x\sqrt{x}=x^1*x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$

далее мы ищем производную функцию
для степенной есть формула
$y=x^n;$
тогда $y'=n*x^{n-1}$

соотвественно получаем в данном случае 
$y'=(x^{\frac{3}{2}})'=\frac{3}{2}*x^{\frac{3}{2}-1}=$
$\frac{3}{2}*x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ 

Answer 2

Все просто...))

$\displaystyle x \sqrt{x} =x*x^{1/2}=x^{1+1/2}=x^{3/2} \\ \\ (x^{3/2})'= \frac{3}{2}*x^{3/2-1}= \frac{3}{2}*x^{1/2}= \frac{3}{2} \sqrt{x}$