Question

Помогите решить 2 определенных интеграла!! пожалуйста! 9.1.29 и 9.1.31! фото прикреплено

Answer 1

$29)\; \; \int\limits^1_0 \frac{4arctgx-x}{1+x^2}\, dx=4 \int\limits^1_0 \frac{arctgx}{1+x^2}\, dx-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 \frac{2x\, dx}{1+x^2}=\\\\=[\, u=arctgx,\; du=\frac{dx}{1+x^2}\; ;\; v=1+x^2,\; dv=2x\, dx\, ]=\\\\=4 \int\limits^{\pi /4}_0u\, du-\frac{1}{2}\int\limits^{2}_1 \frac{dv}{v}=\frac{4u^2}{2}\Big |_0^{\pi /4}- \frac{1}{2}\cdot ln|v|\Big |_1^2=\\\\=2\cdot \frac{\pi ^2}{16}-\frac{1}{2}\cdot (ln2-ln1)=\frac{\pi ^2}{8}-\frac{1}{2}\cdot ln2$

$31)\; \; \int\limits^{0}_{-1} \frac{3^{x}-2^{x}}{6^{x}}\, dx=\int\limits^0_{-1} \, ((\frac{1}{2})^{x}-(\frac{1}{3})^{x})\, dx=\Big (\frac{(\frac{1}{2})^{x}}{ln\frac{1}{2}}-\frac{(\frac{1}{3})^{x}}{ln\frac{1}{3}}\Big )\Big |_{-1}^0=\\\\=-\frac{1}{2^{x}ln2}+\frac{1}{3^{x}ln3}$