Question

Решить неравенство 3^{x^{2}} \cdot 5^{x-1}\geq 3

Answer 1

$3^{x^{2}} * 5^{x-1}\geq 3$
прологарифмируем обе части по основанию 3
$3^{x^{2}} * 5^{x-1}\geq 3 \\\log_3(3^{x^{2}} * 5^{x-1})\geq\log_3 3 \\\log_3(3^{x^{2}})+\log_3(5^{x-1})\geq 1 \\x^2+(x-1)*\log_3 5\geq 1 \\x^2+(x-1)*\log_3 5-1\geq 0 \\x^2+x\log_3 5-\log_3 5- 1\geq 0 \\D=(\log_3 5)^2+4(\log_3 5+1)=(\log_3 5)^2+4\log_3 5+4=(\log_3 5+2)^2 \\x_1= \frac{-\log_3 5+\log_3 5 +2}{2} =1 \\x_2= \frac{-\log_3 5-\log_3 5 -2}{2} = \frac{-2\log_3 5-2}{2} =-\log_3 5-1=-\log_3 15$
также $-\log_3 15\ \textless \ 1$
 используем метод интервалов
   +          -           +
-------[]------------[]--------->
  -log3(15)       1

$x\in(-\infty;-\log_3 15]\cup[1;+\infty)$
Ответ: $x\in(-\infty;-\log_3 15]\cup[1;+\infty)$