Question

Помогите решить, 45 баллов.

Answer 1

#1:
$\int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{2x-1}- \sqrt[4]{2x-1} } } \, dx=\\|\ 2x-1=t^4\\|\ 2\ dx=4t^3\ dt\\|\ dx=2t^3\ dt\\| \ t= \sqrt[4]{2x-1}\\ \int\limits { \frac{2t^3}{t^2-t} } \, dt= 2\int\limits { \frac{t^2}{t-1} } \, dt=2 (\int\limits { \frac{(t-1)(t+1)}{t-1} } \, dt+ \int\limits{ \frac{1}{t-1} } \, dt)=2( \int\limits {t} \, dt+\\ +\int\limits {1} \, dt+ \int\limits {( t-1)^{-1} } \, dt)\\=2( \frac{t^2}{2}+t+ln|t-1|)=t^2+2t+2ln|t-1|\\ \sqrt{2x-1}+ 2\sqrt[4]{2x-1}+2ln|\sqrt[4]{2x-1}-1|+C$

#2:
$\int\limits { \frac{1}{x \sqrt{4+x^2}} } \, dx=\\| \ 4+x^2=t^2\ ;\ x^2=t^2-4 \\| \ 2x\ dx=2t\ dt\\|\ dx= \frac{t}{x}\ dt\\|\ t= \sqrt{4+x^2} \\ \int\limits { \frac{t}{x^2(t)} } \, dt= \int\limits { \frac{1}{t^2-2^2} } \, dt= \frac{1}{4}ln| \frac{t-2}{t+2}|+C\\ \frac{1}{4}ln| \frac{ \sqrt{4+x^2}-2 }{ \sqrt{4+x^2}+2 }|+C$