Question

Данную функцию f(x) разложить в ряд Фурье в заданном интервале.

f(x)=6x-2; (-π,π)

Answer 1

$f(x)=6x-2\; ,\; \; (\pi ,\pi )\\\\a_0=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }f(x)\, dx =\frac{1}{\pi } \int\limits^{\pi }_{-\pi }(6x-2)\, dx=\frac{(6x-2)^2}{\pi \cdot 6\cdot 2}\Big |_{-\pi }^{\pi }=\\\\=\frac{1}{12\pi }\cdot ((6\pi -2)^2-(-6\pi -2)^2)=-\frac{4\pi }{\pi }=-4\\\\a_{n}= \frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }f(x)\cdot cosnx\, dx=\frac{1}{\pi } \int\limits^{\pi }_{-\pi }(6x-2)cosxnx\, dx=\\\\=[u=6x-2,\; du=6dx,\; dv=cosnx,\; v=\frac{1}{n}sinnx]=$

$=\frac{1}{\pi }\Big (\frac{6x-2}{n}\cdot sin\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }-\frac{6}{n}\int\limits^{\pi }_{-\pi }sin\, nx\, dx\Big )=\\\\=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (0+\frac{6}{n^2}\cdot cos\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }\Big )=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{6}{n^2}\cdot \Big (cos\pi n-cos(-\pi n)\Big )=0$

$b_{n}=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }f(x)sin\, nx\, dx=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_{-\pi }(6x-2)\cdot sin\, nx\, dx=\\\\=[u=6x-2,\; du=6dx,\; dv=sin\, nxdx,\; v=-\frac{1}{n}cos\, nx]=\\\\=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{6x-2}{n}cos\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }+\frac{6}{n}\int\limits^{\pi }_{-\pi }cos\, nx\, dx\Big )=\\\\=-\frac{1}{\pi n}\cdot \Big ((6\pi -2)\cdot cos\, \pi n-(-6\pi -2)\cdot cos(-\pi n)\Big )+\\\\+\frac{6}{\pi n^2}\cdot sin\, nx\Big |_{-\pi }^{\pi }=\\\\=-\frac{1}{\pi n}\cdot \Big ((6\pi -2)\cdot (-1)^{n}+(6\pi +2)\cdot (-1)^{n}\Big )+0=$

$= \frac{(-1)^{n}}{\pi n}\cdot (6\pi -2+6\pi +2)=\frac{(-1)^{n}\cdot 12\pi }{\pi n}=\frac{(-1)^{n}\cdot 12}{n}\\\\\\f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits _{n=1}^{\infty }\Big (a_{n}\cdot cos\, nx+b_{n}\cdot sin\, nx\Big )\\\\f(x)=-4+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big (\frac{(-1)^{n}\cdot 12}{n}\cdot sin\, nx\Big )= -4+12\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}sin\, nx}{n}$