Question

Решите уравнение 3sin2x-3cosx+2sinx-1=0. Укажите корни принадлежащему отрезку [ -2П; -П]

Answer 1

$3\sin2x-3\cos x+2\sin x-1=0 \\\ 3\cdot2\sin x\cos x-3\cos x+2\sin x-1=0 \\\ 3\cos x(2\sin x-1)+(2\sin x-1)=0 \\\ (2\sin x-1)(3\cos x+1)=0 \\\ 2\sin x-1=0\Rightarrow \sin x= \dfrac{1}{2} \\\ \boxed{x_1= \dfrac{ \pi }{6}+2 \pi n }\boxed{x_2= \dfrac{ 5\pi }{6}+2 \pi n }, \ n\in Z \\\ 3\cos x+1=0\Rightarrow \cos x=- \dfrac{1}{3} \\\ \boxed{ x_3=\pm\arccos\left(- \dfrac{1}{3} \right)+2 \pi n}, \ n\in Z$

$-2 \pi \leq \dfrac{ \pi }{6}+2 \pi n \leq -\pi \\\ -2 \leq \dfrac{ 1 }{6}+2 n \leq -1 \\\ -\dfrac{13}{6} \leq 2 n \leq - \dfrac{7}{6} \\\ -\dfrac{13}{12} \leq n \leq - \dfrac{7}{12} \\\ n=-1: \ x_1=\dfrac{ \pi }{6}+2 \pi \cdot(-1)=- \dfrac{11 \pi }{6}$

$-2 \pi \leq \dfrac{ 5\pi }{6}+2 \pi n \leq -\pi \\\ -2 \leq \dfrac{ 5 }{6}+2 n \leq -1 \\\ -\dfrac{17}{6} \leq 2 n \leq - \dfrac{11}{6} \\\ -\dfrac{17}{12} \leq n \leq - \dfrac{11}{12} \\\ n=-1: \ x_2=\dfrac{ 5\pi }{6}+2 \pi \cdot(-1)=- \dfrac{7 \pi }{6}$

$-2 \pi \leq \pm\arccos\left(- \dfrac{1}{3} \right)+2 \pi n\leq -\pi \\\ x_3=\arccos\left(- \dfrac{1}{3} \right)- \pi$

Ответ: $(-1)^n\dfrac{ \pi }{6}+ \pi n$, $\pm\arccos\left(- \dfrac{1}{3} \right)+2 \pi n$.
Корни: -11п/6, -7п/6, arccos(-1/3)-п