Question

Найдите сумму:
$\displaystyle tg^2 \frac{x}{2}+ tg^2 \frac{y}{2}+ tg^2 \frac{z}{2},$
если:
$\displaystyle cosx= \frac{a}{b+c}, cosy= \frac{b}{c+a}, cosz= \frac{c}{a+b}, a+b+c\neq 0$

Answer 1

Long time no see! Пользуюсь онли формулами приведения!
$\displaystyle tg^2( \frac{x}{2}) + tg^2( \frac{y}{2}) + tg^2( \frac{z}{2}) \\ \\ 1. \: \: tg^2( \frac{x}{2}) = \frac{sin^2( \frac{x}{2}) }{cos^2( \frac{x}{2}) } = \frac{ (\pm\sqrt{ \frac{1-cos(x)}{2} })^2 }{(\pm\sqrt{ \frac{1+cos(x)}{2} })^2} = \frac{1-cos(x)}{1+cos(x)} = \frac{1- \frac{a}{b+c} }{1+\frac{a}{b+c}} = ... \\ \\ ...= \frac{\frac{b+c-a}{b+c}}{\frac{b+c+a}{b+c}} = \frac{b+c-a}{b+c+a}$
По аналогии с пунктом 1:
$\displaystyle 2. \: \: tg^2( \frac{y}{2}) = \frac{1-cos(y)}{1+cos(y)} = \frac{1 - \frac{b}{c+a} }{1+\frac{b}{c+a}} = \frac{c+a-b}{c+a+b} \\ \\ 3. \: \: tg^2( \frac{z}{2}) = \frac{1-cos(z)}{1+cos(z)} = \frac{1 - \frac{c}{a+b} }{1+\frac{c}{a+b}} = \frac{a+b-c}{a+b+c}$
В итоге имеем:
$\displaystyle tg^2( \frac{x}{2}) + tg^2( \frac{y}{2}) + tg^2( \frac{z}{2}) = \frac{b+c-a}{b+c+a} + \frac{c+a-b}{c+a+b} + \frac{a+b-c}{a+b+c} = ... \\ \\ ...= \frac{2a-a + 2b-b +2c-c}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$
Вроде так :D