Question

Решить уравнение
3sin2x-4cosx+3sinx-2=0
Указать корни, которые принадлежат отрезку [П/2;3П/2].

Answer 1

$3\sin2x-4\cos x+3\sin x-2=0 \\\ 3\cdot2\sin x\cos x+3\sin x-4\cos x-2=0 \\\ 3\sin x(2\cos x+1)-2(2\cos x+1)=0 \\\ (2\cos x+1)(3\sin x-2)=0 \\\ 2\cos x+1=0\Rightarrow \cos x=- \dfrac{1}{2} \\\ \boxed{ x_1= \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n}\boxed{ \ x_2=- \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n}, \ n\in Z \\\ 3\sin x-2=0\Rightarrow \sin x=- \dfrac{2}{3} \\\ \boxed{x_3= \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n}\ \boxed{ x_4= \pi - \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n}, \ n\in Z$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} \leq \dfrac{2 }{3} +2 n \leq \dfrac{3 }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} -\dfrac{2 }{3} \leq 2 n \leq \dfrac{3 }{2} -\dfrac{2 }{3} \\\ -\dfrac{1 }{6} \leq 2 n \leq \dfrac{5 }{6} \\\ -\dfrac{1 }{12} \leq n \leq \dfrac{5 }{12} \\\ n=0: \ x_1=\dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi \cdot0=\dfrac{2 \pi }{3}$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq - \dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} \leq - \dfrac{2 }{3} +2 n \leq \dfrac{3 }{2} \\\ \dfrac{ 1 }{2} +\dfrac{2 }{3} \leq 2 n \leq \dfrac{3 }{2} +\dfrac{2 }{3} \\\ \dfrac{7 }{6} \leq 2 n \leq \dfrac{13 }{6} \\\ -\dfrac{7 }{12} \leq n \leq \dfrac{13 }{12} \\\ n=1: \ x_2=-\dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi \cdot1=\dfrac{4 \pi }{3}$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n} \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ x\in \oslash$

$\dfrac{ \pi }{2} \leq \pi - \arcsin\dfrac{2}{3} +2 \pi n \leq \dfrac{3 \pi }{2} \\\ x_3=\pi - \arcsin\dfrac{2}{3}$

Ответ: $\pm\dfrac{2 \pi }{3} +2 \pi n$; $(-1)^n\arcsin\dfrac{2}{3} +\pi n$. Корни 2п/3, 4п/3, п-arcsin(2/3)