Question

Нужна задача №6 только, с чертежом.
Дано: ABCD - квадрат. Точка М лежит вне плоскости ABC. Найти расстояние между прямыми AМ и BD.

Answer 1

Пусть E - проекция точки M на плоскость ABC

$|BD|=4\sqrt{2}$ - диагональ квадрата со стороной 4
$|BE|=2\sqrt{2}$ - половина диагонали, т.к. треугольник BMD равнобедренный и высота делит основание пополам
$|AE|=2\sqrt{2}$ - по той же причине
$|ME|=\sqrt{|AM|^2-|AE|^2}=\sqrt{9-8}=1$ - теорема Пифагора

Теперь рассмотрим треугольник АМЕ. Угол AEM - прямой, т.к. E=проекция K на плоскость основания
Пусть К - проекция точки E на прямую AM. Т.е. EKM - прямой.

Вспомним, что синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда
$|KE|=|ME|*\sin \angle KME=|ME|*\frac{|AE|}{|AM|}=1*\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$

Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{2}$