Question

Найдите минимум функции f(x,y,z,t)=(x-y)^2+(z-t)^2 при условии
(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2+(t-4)^2=1.
Выберите верный ответ.
1)5-2√6
2)5+2√6
3)12+4√5
4)2-4√5

Answer 1

Посмотрим на задачу с точки зрения геометрии. Пусть есть точки A = (2, 1), B = (3, 4), L = (x, z) и M = (y, t). Тогда $(x - 2)^2 + (z - 1)^2$ – квадрат длины отрезка AL, $(y - 3)^2 + (t - 4)^2$ – квадрат длины отрезка BM, $(x - y) + (z - t)^2$ – квадрат длины отрезка LM.

Заметим, что $AB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{10}$. Поскольку по условию $AL^2 + BM^2 = 1$, то AL, BM < 1, и минимальное значение LM (а значит, и $LM^2$) будет достигаться тогда, когда L и M лежат на отрезке AB.

Обозначим AL = u, тогда $BM = \sqrt{1 - u^2}$, AL + BM = v.
$LM = \sqrt{10} - v$ будет минимально, когда v (и $v^2$) будет максимально.

$v^2 = (u + \sqrt{1 - u^2})^2 = 1 + 2\sqrt{u^2(1-u^2)}$
Под корнем стоит квадратный трёхчлен относительно $u^2$, его максимум достигается в вершине, когда $u^2=1/2$, при этом $v^2$ достигает максимального значения 2, поэтому максимальное значение v равно $\sqrt2$

Тогда минимальное значение $LM^2$ равно:
$LM^2=(\sqrt{10}-\sqrt2)^2=10-2\sqrt{10\cdot2}+2=12-4\sqrt5$