Question

Очень нужна ваша помощь.

Answer 1

Найти интеграл
$\int{ \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} } \, dx$

Решение
Для нахождения интеграла дробь под знаком интеграла представим в виде суммы более простых дробей

$\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}=\frac{1+x^2+x^2}{x^2(1+x^2)}=\frac{1+x^2}{x^2(1+x^2)}+\frac{x^2}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1+x^2}$

Подставим полученную сумму в интеграл
$\int{ \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} } \, dx=\int{(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1+x^2} )} \, dx=\int{\frac{1}{x^2}} \,dx+\int{\frac{1}{1+x^2}} \,dx=$
$=\int{x^{-2} \,dx+\int{\frac{1}{1+x^2}} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + arctg(x)+ C =arctg(x)- \frac{1}{x}+C$

Ответ: arctg(x) - 1/x + C