Question

Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти длины катетов этого треугольника

Answer 1

Радиус вписанной в прямоугольной треугольник окружности равен r=(a+b-c)2

Радиус  описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен R=c2

где a, b-катеты, c - гипотенуза

 

отсюда с=2*5=10

a+b=2*2+10=14

 

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=10^2=100

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100

14^2-2ab=100

2ab=196-100=96

ab=96:2=48

 

a+b=14

ab=48

(6+8=14; 6*8=48)

по теореме обратной к теореме Виета

a=6 b=8 или a=8, b=6

ответ: длины катетов 6 и 8