Question

Максимум баллов, зайчики, помогите!)))

Answer 1

Оценим каждый множитель в отдельности:
10x - x²  - 24 = - x² + 10x - 24 = -(x² - 10x + 25) + 1 = 1 - ( x - 5 )²
Выражение 1 - (x - 5)² ≤ 1

$log _{5}(4Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2} +1)\\\\1 \leq 4Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2}+1 \leq 5\\\\0 \leq log _{5} (4Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2} +1) \leq 1$
Получили что первый множитель ≤ 1 , а второй множитель больше нуля но меньше единицы. Но при этих условиях произведение двух множителей будет ≥ 1 только в случае, когда и первый и второй множители равны 1, то есть
1) 10x - x² - 24 = 1
- x² + 10x - 25 = 0
x² - 10x + 25 = 0
(x - 5)² = 0
x - 5 = 0
x = 5
2)$log _{5} (4Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2}+1)=1$
$4Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2} +1=5\\\\4Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2} =4\\\\Sin ^{2} \frac{ \pi x}{2} =1\\\\Sin ^{2} \frac{5 \pi }{2} =1$
-верно

Значение x = 5 является решением и этого уравнения.
Значит это единственное решение неравенства.