Question

Помогите найти интегралы:
а) $\int\limits {\frac{dx}{x^2+x+1}}$
б)$\int\limits {\frac{dx}{\sqrt{5-x^2-4x}}$

Answer 1

$Formuls:\\\int\limits{ \frac{1}{x^2+a^2} } \, dx= \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a})+C\\ \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{(a^2-x^2)} } } \, dx=arcsin( \frac{x}{a})+C$

#1.
 $\int\limits { \frac{1}{x^2+x+1} } \, dx= \int\limits { \frac{1}{(x+ \frac{1}{2})^2- \frac{1}{y} +1} } \, dx= \int\limits { \frac{1}{(x+ \frac{1}{2})^2+ (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2} } \, dx=\\ |\ x+ \frac{1}{2}=t\\|\ dx=dt\\= \int\limits \frac{1}{ {t^2}+ (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2} \, dt= \frac{2}{ \sqrt{3} }arctg((t)* \frac{2}{\sqrt{3}}})= \frac{2}{ \sqrt{3} }arctg((x+ \frac{1}{2} )* \frac{2}{\sqrt{3}}})=\\=\frac{2}{ \sqrt{3} }arctg( \frac{2x+1}{ \sqrt{3} })+C$

#2.
 $\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{5-x^2-4x} } } \, dx= \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{-(x^2+4x-5)} } } \, dx= \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{-((x+2)^2-9)} } } \, dx=\\|x+2=t\\|dx=dt\\=\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{-(t^2-9)} } } \, dt=\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{3^2-t^2} } } \, dt=arcsin( \frac{t}{3})=arcsin( \frac{x+2}{3})+C$